Измерение отклонения от круглости деталей с использованием гармонического анализа МИНИМИЗАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ. ФОРМООБРАЗОВАНИЯ. ПРИ БЕСЦЕНТРОВОЙ. АБРАЗИВНОЙ ОБРАБОТКЕ

Повышение точности измерений при радиусном и координатном ме­тодах достигается минимизацией эксцентриситета между центром средней окружности профиля и началом измерительной системы. Поэтому в пер­вом случае деталь предварительно центрируют, а во втором — математиче­ски определяют положение центра средней окружности профиля. Метод разностного измерения дополнительно требует минимизации перемещений центра средней окружности при вращении детали относительно измери­тельного датчика.

Современные кругломеры оснащены точными механизмами центри­рования (номинальная точность — до 0,01 мкм). При этом стандартная ме­тодика центрирования на кругломерах [59] основана на минимизации функционала G:

2п

G =J(r} — e)dy, (7.1)

0

когда вначале находят длину е радиус-вектора эксцентриситета, а затем соответствующие ему координаты (x, у) центра средней окружности, при которых Gmin принимает наименьшее значение.

Однако действительная точность центрирования по радиальному би­ению зависит, в первую очередь, от характера отклонений профиля изме­ряемой детали и от радиуса вращения датчика, который в общем случае не равен априори неизвестному радиусу средней окружности профиля. Кроме того, предварительное центрирование, даже при автоматизации этой про­

цедуры, занимает в несколько раз больше времени, чем собственно изме­рение.

Измерение отклонения от круглости деталей с использованием гармонического анализа Подпись: X Измерение отклонения от круглости деталей с использованием гармонического анализа Подпись: у Подпись: n j=i Подпись: (7.-)

Широкое применение в производственной практике благодаря своей простоте получили формулы Спрегга [60] для расчета радиуса R и коорди­нат (x, у) центра средней окружности:

Подпись: Рис. 7.1. Схема для определения параметров средней окружности профиля

где rj — радиус j-й точки профиля; Xj, yj — декартовы координаты j-й точки профиля; n — число измеренных точек профиля (рис. 7.1).

Во многих работах [62, 63] отмечен приближенный характер формул (7.2), которые дают хорошие результаты только при небольших эксцентри­ситетах. Формально требуется выполнение условия е << R, то есть необхо­димо предварительное центрирование деталей. Однако более строгие дан­ные о погрешностях формул (7.2) отсутствуют.

Основные положения для расчета параметров базовых окружностей при координатных измерениях приведены в стандарте [64]. Математически строгое центрирование предполагает определение трех параметров — ради­уса R и координат (x, y) центра средней окружности. Указанные параметры находят из условия минимума функционала Ф, представляющего собой сумму квадратов расстояний от измеренных точек (xj, yj) до средней окружности [65]:

ф(х, уЛ) = Z(V(xj ~ x) + (Уі ~ У)2 ~ RУ. (7.3)

j=i

Процедура минимизации функционала Ф реализуется итерационны­ми методами, что обусловливает ее высокую трудоемкость. Поэтому дан­ный метод получил применение только при измерении на КИМ.

Измерение отклонения от круглости деталей с использованием гармонического анализа 

рования на точность измерения отклонения от круглости с помощью гар­монического анализа справедливы также и при использовании формул Спрегга.

Оценим погрешность представления эксцентриситета средней окружности в виде первой гармоники при анализе профиля детали.

Уравнение средней окружности профиля детали с центром О в си­стеме координат (Х1 Оі Y1) (рис. 7.2):

Подпись: (7.6)Xj = Rcosty + ecos у;

Yj = Rsinty + esiny,

Подпись: Рис. 7.2. Схема измерения поперечного профиля детали

где ф — полярный угол в системе координат с полюсом О; у — полярный угол радиус-вектора эксцентриситета е.

Уравнение окружности (7.6) в полярной системе координат с полю­сом О1 получим на основе известных преобразований:

Подпись: (7.7)r, = V X, + Yj2;

Фі = arctg(Yj / Xj),

где ф1 — полярный угол в системе координат с полюсом О1.

Измерение отклонения от круглости деталей с использованием гармонического анализа Измерение отклонения от круглости деталей с использованием гармонического анализа

Гармонический анализ подразумевает задание профиля конечным множеством точек с равномерным угловым расположением относительно начала системы координат. Для выполнения этого условия установим связь между углами ф и ф1 из второго уравнения (7.7):

Особенность формулы (7.9) заключается в равномерном угловом расположении точек на профиле при наличии эксцентриситета.

На рис. 7.3 приведен пример, изображающий среднюю окружность 1 с эксцентриситетом е и характеризующие окружность первую гармонику 2, вторую гармонику 3 и третью гармонику 4.

image83

Рис. 7.3. Гармонический анализ средней окружности профиля

Гармонический анализ выражения (7.9) выполнен численным мето­дом, так как решение в явном виде приводит к громоздким математиче­ским выкладкам. Установлено, что функция, заданная уравнением (7.9), описывается суперпозицией нулевой, первой и четных гармоник (p = 1, 2, 4, …) с амплитудами, быстро убывающими при увеличении номера гармо­ники. Значимыми можно считать только амплитуды нулевой а0, первой а1 и второй а2 гармоник. Первая гармоника однозначно определяет амплиту­ду e и начальную фазу у эксцентриситета, хотя при этом развертка эксцен­трической окружности отличается от синусоиды. Из результатов гармони­ческого анализа также следует, что амплитуда а0 нулевой гармоники меньше радиуса R средней окружности на величину амплитуды а2 второй гармоники.

Амплитуда а2 второй гармоники нелинейно связана с амплитудой а1 первой гармоники (рис. 7.4). Соотношение амплитуд а2/а1 существенным образом зависит от отношения е/R. Так, например, максимальное значение а2/а1 = 0,42 достигается при эксцентриситете, равном радиусу средней окружности. В диапазоне е/R < 0,1 зависимость а2/а1 близка к линейной и указанное отношение составляет примерно 0,025. Если круглограмма ана­лизируется графическим способом, где вместо радиуса детали рассматри­вают средний радиус записи, в большей степени соизмеримый с эксцен­триситетом, то отклонения будут в несколько раз больше.

image84

Рис. 7.4. Зависимость амплитуд первой и второй гармоник средней окружности

Таким образом, компенсацию методической погрешности центриро­вания следует осуществлять, вычитая из измеренных длин радиус-векторов точек профиля r1 корректирующую добавку Ar, представляющую собой сумму первой и второй гармоник и разность амплитуды второй гармоники: r = r — Ar = r — a cos(ф-Vi)+а2[1 — cos(2ф-^)]. (7.10)

В выражении (7.10) величины а1, ^1 определяют на основании гар­монического анализа профиля детали по формулам (7.5), а величину а’ — на основании гармонического анализа эксцентрической средней окружно­сти по выражению (7.9). Радиус средней окружности R рассчитывают как сумму нулевой гармоники а0 и амплитуды а’ второй гармоники.

Рассмотренная методика, использующая формулы (7.9), (7.10), про­шла апробацию и получила применение в разработанном способе измере­ния на кругломерах [70].

Проведем сравнительный анализ точности измерения отклонения от круглости при стандартном и предложенном методах в зависимости от точности центрирования. Экспериментально полученные круглограммы подвергались гармоническому анализу и статистической обработке, а за­тем моделировались по методу Монте-Карло. При гармоническом анализе учитывались гармоники со 2-й по 25-ю включительно, причем гармоники с амплитудами менее 0,01 мкм не рассматривались. Установлено, что ам­плитуды гармоник распределены по закону Пирсона первого типа, началь­ные фазы — по закону равных вероятностей, а отклонение от круглости — по нормальному закону. Аналогичные результаты были получены в работе [71] для отверстий диаметром 1 мм, полученных вырубкой, калибровкой и сверлением.

Моделирование круглограмм с указанными законами распределения проведено по статистическому методу Монте-Карло (рассмотрен в п. 6.4). Корреляция амплитуд и начальных фаз для отдельных гармоник не учиты­валась. Профиль круглограммы задавался 500 точками (в соответствии с данными прибора Talyrond 73). Также моделировалась случайная погреш­ность центрирования: радиус е, распределенный по нормальному закону, полярный угол у, распределенный по закону равных вероятностей. Далее рассчитывалось отклонение от круглости по формуле (7.2) для известной и по формуле (7.10) для предложенной методики и проводилась статистиче­ская обработка.

В табл. 7.2 приведены результаты моделирования при измерении от­клонения от круглости 500 круглограмм в виде оценок математического ожидания x и среднеквадратического отклонения а, полученных для трех значений погрешности центрирования. Результаты расчетов округлялись до практически значимой величины 0,01 мкм.

Таблица 7.2

Результаты моделирования измерения отклонения от круглости

Погрешность

центрирования,

мм

Отклонение от

круглости,

мкм

действительное

по формуле (7.2)

по формуле (7.10)

x

а

x

а

x

а

0,01

1,11

0,14

1,11

0,14

0,05

1,11

0,14

1,15

0,16

1,11

0,14

0,20

3,02

0,23

1,11

0,14

Анализ табл. 7.2 показал, что при погрешности центрирования 0,01 мм стандартная методика дает точный результат, при 0,05 мм — удовлетво­рительный, а при 0,2 мм — неудовлетворительный результат. Рассчитанное по предложенной методике отклонение от круглости совпало с действи­тельным с принятой точностью 0,01 мкм при всех значениях погрешности центрирования.

Таким образом, практическое применение разработанной методики для обработки результатов измерения на кругломерах позволяет снизить требования к точности центрирования в 5.. .10 раз и тем самым увеличить производительность измерения.

Рассмотренная методика применима при координатном и разностном способе измерения, а также при измерении диаметров деталей [72 — 75].

При координатном способе целесообразна следующая последова­тельность измерения и обработки результатов. С помощью КИМ находят координаты точек поперечного профиля в системе координат (X0 О0 70) измерительной машины, выбирают приближенный центр О і средней окружности профиля. За приближенный центр О1 средней окружности принимают, например, центр прямоугольника ABCD, охватывающего про-

филь детали (рис. 7.5 а). Также за приближенный центр Оі средней окруж­ности можно принять точку, делящую пополам каждый из двух взаимно перпендикулярных отрезков KM и LN, ограниченных противолежащими точками K, M,, L, N профиля (рис. 7.5 б). Отрезки KM и LN не обязательно параллельны осям X0, Y0.

image85

Рис. 7.5. Приближенный выбор центра средней окружности профиля при координатном способе измерения отклонения от круглости

Далее проводят гармонический анализ координат (ту ф7) точек про­филя в системе координат (X1 О1 Y1), на основании которого получают ра­диус R и уточненное положение центра О средней окружности профиля, определяемое координатами (e; ф). Затем координаты (х{, у) точек профиля пересчитывают по известным формулам:

X} = TjCOSi^ J + ecos фЛ

Y = т^їпф J + esinф. І

При этом последующее неравномерное угловое расположение точек на профиле при расчете отклонения от круглости значения не имеет. Одна­ко выявление гармонических составляющих погрешности в таком случае затруднено.

При разностных измерениях, когда эксцентриситет имеет постоянное значение, гармонический анализ позволяет уменьшить методическую по­грешность в несколько раз в зависимости от условий измерения. Это до­стигается математической компенсацией погрешности базирования детали относительно шпинделя и биения самого шпинделя измерительного устройства. Особенно целесообразно использование данной методики при измерении в процессе обработки детали без предварительного центриро­вания [67]. Рассмотренный метод получил апробацию при измерении диа­метра и отклонения от круглости валов на прецизионных токарных станках типа ТПК-125ВН2. При этом погрешность измерения отклонения от круг­лости уменьшилась в 2.. .3 раза.

Измерение отклонения от круглости деталей с использованием гармонического анализа
0 votes, 0.00 avg. rating (0% score)

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *