МОДЕЛЬ РАСЧЕТА ТОЧНОСТИ ВРАЩЕНИЯ ШПИНДЕЛЬНЫХ УЗЛОВ

Точность расчета шпиндельного узла зависит от степени соответствия принятой расчетной схемы реаль­ной конструкции и точности оценки значений рабочих характеристик его элементов. При расчетах шпиндель­ный узел обычно рассматривается [64] как совокупность отдельных элементов, представленных в виде стержне­вой динамической системы на упругих опорах с вязким демпфированием, имеющей распределенные и сосредо­точенные массы и нагруженной силами от процесса ре­зания, привода вращения и воздействия дисбаланса вра­щающихся масс. Колебания элементов такой системы могут быть описаны [65] дифференциальным уравнени­ем в частных производных четвертого порядка:

+ с (х) £ (х, t) + h (х) (х, t) = P (х, t), (3.1)

ot

где EJ(х) ■— изгибная жесткость сечения шпинделя; £ — поперечное перемещение; с, h, т — жесткость, демпфи­рование соответствующего сечения и масса единицы длины шпинделя; Р(х, t) —силы внешнего воздействия. Второй, третий и четвертый члены левой части пред­ставляют собой математическое выражение сил инер­ции, упругости и демпфирования.

Расчет шпиндельного узла существенно облегчается при использовании метода начальных параметров в мат­ричной форме [66]. Метод позволяет связать параметры шпиндельного узла в начальном сечении (на переднем конце шпинделя) с аналогичными параметрами в любом другом сечении. Шпиндель в этом случае рассматрива­ется как ступенчатая балка, состоящая из Отдельных участков, которые могут быть отнесены к одному из че­тырех видов: пролет, опора, силовой участок, сосредото-

■

НН ченная масса. Под пролетом понимается участок шпин­деля, имеющий постоянное поперечное сечение и не 1 содержащий опор или точек приложения нагрузки. Опо­ра — это участок бесконечно малой длины, на котором размещен подшипник любого типа. И наконец, силовой участок представляет собой участок бесконечно малой длины, к которому приложены сила, изгибающий момент или оба вида нагрузки одновременно.

Каждый пролет характеризуется рабочими характе­ристиками: массой р, длиной /, моментом инерции сече­ния I, изгибной жесткостью EJ. Дифференциальное уравнение свободных колебаний такого участка имеет вид [65]:

EJ = 0, (3.2)

дх4 ді2

где | — поперечное перемещение рассматриваемого

участка шпинделя; х — координата вдоль оси шпинделя; t — текущее время. Решение уравнения (3.2) записы­вается в виде

£ = У (х) sin LV,

где £2 — круговая частота действующей внешней силы.

Путем интегрирования уравнения (3.2) с учетом краевых условий строится переходная матрица, позво­ляющая для каждого участка находить амплитуды ве­личины прогиба у, угла поворота «р, изгибающего момен­та М и перерезывающей силы Q по их значениям в начальном сечении.

? При составлении переходных матриц для отдельных

участков шпинделя счет индексов i= 1, п ведется справа налево. Учитывается, что радиальные подшипники не оказывают на шпиндель защемляющего воздействия; на концах шпинделя (участки 1 и п) расположены

сосредоточенные массы /п* и моменты инерции 1г (на­пример, массы шлифовального круга и шкива привода); в нулевом сечении приложена нагрузка Ро(0 от силы резания с присущей ей частотой ыо, а в крайнем — сила Pn(t), вызванная воздействием на шпиндель привода с частотой ©и.

В каждом сечении шпиндельного узла выводятся матрицы-стобцы параметров следующего вида:

8. Зак. 1257

(3.3)

Y,

)

iiijQHi EJ

(3.5)

U

 

При расчетах точности конкретного шпиндельного узла обобщенная матрица (3.21) составляется для каждой из рассматриваемых частот действующих внешних нагру­зок.

Расчет точности вращения различных конструктив­ных вариантов шпиндельных узлов производится на ЭВМ. По уравнению (3.22) с использованием граничных условий находятся величины амплитуд перемещений у0 и угла поворота <ро на переднем конце шпинделя. Общий алгоритм расчета включает вычисление матриц отдель­ных участков и перемножение их для определения пол­ной матрицы шпиндельного узла. Если имеется несколь­ко возмущающих воздействий с частотами Qj, i=l, in, то для каждого значения частоты Qu определяются со­ответствующая переходная матрица П;, и амплитуда г/oft — Суммарное поперечное перемещение в этом случае будет описываться функцией

где ф{ — угол сдвига фаз.

Оценка суммарной погрешности вращения шпин­дельного узла производится по величине среднего квад­ратического отклонения, определяемого по формуле

г=1

С помощью критерия ау может быть произведена как оценка качества изготовления конкретного шпиндельного узла, так и сравнение различных их конструктивных ва­риантов п компоновочных исполнений по точности вра­щения.